Cena a Roma venerdì o sabato [pag. 13]

@ dogri & fran:

mo' ve la leggete tutta...Max,tu lascia sta',so' cose da gommonauti,non da paranzari


Soluzione completa del famoso problema di Ben Ames Williams
pubblicato in The Saturday Evening Post nel 1926

Ricordo che il problema è stato proposto a BASE Cinque da Alessandro89

Cinque marinai naufragano su un'isola semideserta (semi-, perché c'è una scimmia).
Durante la giornata raccolgono un mucchio di noci di cocco, per dividersele tra di loro il giorno dopo.
Durante la notte, però, uno si sveglia e decide di prendersi la sua parte in anticipo: fa cinque mucchi uguali, vede che avanza una noce, la dà alla scimmia e nasconde la sua parte.
Il secondo marinaio si sveglia poco dopo, va al mucchio (più piccolo) e fa esattamente la stessa cosa: anche stavolta rimane una noce per la scimmia.
Lo stesso fanno a turno gli altri tre: tutte le volte avanza una noce per la scimmia.
Il mattino dopo, tutti vedono che il mucchio è più piccolo, ma avendo la coscienza sporca stanno zitti. Fanno la divisione, e di nuovo avanza una noce data alla scimmia.
Qual è il numero minimo di noci che i marinai avevano raccolto?

Indicando con n il numero di noci di cocco complessivamente raccolte dai cinque marinai durante il giorno, nella prima spartizione ogni gruppetto sarà formato da:

a = (n - 1)/5

noci di cocco. Quando si sveglia il secondo marinaio non troverà più n noci di cocco, bensì un numero più piccolo: 4·a. Egli effettuerà una nuova suddivisione in altri cinque gruppetti ognuno composto stavolta da:

b = (4·a - 1)/5

noci di cocco. Sostituendo il valore di a precedentemente trovato si ottiene:

b = (4·n - 9)/25

Ripetendo lo stesso ragionamento per il terzo marinaio si ha:

c = (4·b - 1)/5 = (16·n - 61)/125

per il quarto:

d = (4·c - 1)/5 = (64·n - 369)/625

e per il quinto:

e = (4·d - 1)/5 = (256·n - 2101)/3125

Quando tutti si svegliano il giorno dopo effettuano un'ultima ripartizione per cui:

f = (4·e - 1)/5 = (1024·n - 11529)/15625

Questa equazione prende il nome di equazione diofantea perchè deve essere soddisfatta da valori di f ed n interi: Infatti il numero minimo di noci raccolte dai marinai non si ottiene impostando f = 1, cioè con l'ultima spartizione di un solo cocco a testa in quanto si otterrebbe un valore di n non intero! Occorre cercare allora quel valore minimo di f tale che anche n sia intero. La soluzione di questa equazione può essere trovata per tentativi, ma il procedimento é molto lungo. Facendo un ragionamento a ritroso però da f possiamo scrivere:

e = 5·f + 1

quindi:

d = e + 1 + e/4

Questo significa che e oltre ad essere intero deve essere anche multiplo di quattro, e per la precedente anche f, a meno di uno, deve essere multiplo di quattro. Continuando a ritroso si ha:

c = d + 1 + d/4

cioè anche d deve essere multiplo di quattro, ma ciò comporta che allora e deve essere multiplo di 16 ed f, sempre a meno di uno, anch'esso multiplo di 16. Per b, a, ed n possiamo ragionare analogamente:

b = c + 1 + c/4

a = b + 1 + b/4

n = a + 1 + a/4

In definitiva a è un multiplo di quattro, b multiplo di 16, c multiplo di 64, d multiplo di 256, e multiplo di 1024, ed f, sempre a meno di uno, ancora multiplo di 1024. Il primo valore di f valido è pertanto 1023.

Infatti, impostando tale valore nell'equazione diofantea si ottiene il valore più piccolo per n che risulta essere 15621.

Esiste anche una semplice ed elegante soluzione, che coinvolge il concetto di "noce negativa" per risolvere l'equazione diofantea. Osserviamo innanzitutto che, poichè il numero da trovare viene diviso sei volte per cinque, ogni risposta accettabile, se sommata a 56 = 15625, ci dà la risposta successiva di ordine superiore. E' ovvio che non esiste un numero n positivo piccolo che soddisfi all'equazione (basta fare qualche tentativo per accorgersene), ma é possibile che ve ne sia uno piccolo negativo: infatti se il marinaio si avvicina al mucchio composto da -4 noci ed in prima battuta aggiunge e sottrae una noce di cocco il risultato non cambia. In tal modo si otterranno -5 noci più una reale (positiva); regala quest'ultima alla scimmia ottenendo un mucchio formato ora da -5 noci. Lo divide per cinque e si prende -1 noce. Resta nuovamente il mucchio con -4 noci. Il secondo marinaio ripete lo stesso procedimento, una noce positiva tocca sempre alla scimmia, -1 noce a lui e ne restano ancora -4. Il procedimento si reitera per tutti i marinai, lasciando invariato il numero di noci dopo la divisione (sempre -4). In questo modo, infatti, i marinai non devono fare che sottrarre e aggiungere ogni volta una noce al mucchio originario per ottenere un'equa divisione dei beni (equa sì, ma svantaggiosa per tutti). Alla mattina dunque, lasciata una noce positiva alla scimmia, ogni marinaio si prende una noce negativa. Risultato: ciascun uomo ha -2 noci e la scimmia possiede 6 noci. Dunque n = -4 è una soluzione dell'equazione diofantea, ma ovviamente non è accettabile fisicamente. Basta però sommarvi 15625 per ricavare immediatamente la soluzione di ordine superiore: -4 + 15625 = 15621. Con questo risultato si può osservare che l'ultima divisione lascia ancora 1023 noci a ciascun marinaio. D'altra parte esiste anche un teorema che dice che se X e Y sono le soluzioni di un'equazione diofantea di forma A·x - B·y = C, allora un'altra soluzione è data da X + B e Y + A, cioè, in questo caso proprio da 15621 (= -4 + 15625) e 1023 (= -1 + 1024).

Per capire meglio il concetto di noce negativa Norman Anning del dipartimento di matematica dell'Università del Michigan nel 1912 ragionò nel seguente modo: quattro noci delle 56 vengono tinte di nero e messe da parte. Quando le rimanenti vengono divise per cinque ne rimane una che viene data alla scimmia. Dopo che il primo marinaio ha preso la sua parte e la scimmia ha avuto la sua noce, rimettiamo di nuovo le quattro noci nere con le altre in modo da averne un mucchio di 55 noci, evidentemente divisibile per cinque, però prima di fare la successiva divisione mettiamo di nuovo da parte le quattro noci nere in modo che dalla divisione rimanga una noce da dare alla scimmia. Questo procedimento di prendere in prestito le noci nere solo quanto basta per vedere che si può effettuare una divisione per cinque e poi metterle da parte viene ripetuto a ogni divisione. Dopo la sesta divisione, le noci nere rimangono da parte e non sono più di nessuno. Esse non hanno una parte essenziale nell'operazione, ma servono solo a rendere le cose più chiare nel procedere.

E' possibile effettuare la generalizzazione del problema delle noci di cocco: sia M il numero dei marinai, maggiore di due, detti X il numero totale di noci raccolte dai marinai ed Y il numero di noci distribuite a ciascuno alla fine risulta:

X = [K·M(M + 1)] - (M - 1) Y = [K·(M - 1)M] - 1

dove K è un numero intero positivo che, posto uguale a 1, fornisce i valori minimi cercati nel problema. Se il numero di noci di cocco date alla scimmia alla fine di ogni tornata è pari ad N, con N qualsiasi intero maggiore di uno, si ha invece:

X = [K·M(M + 1)] - N·(M - 1) Y = [K·(M - 1)M] - N[/b]

P.S, i colori so' a caso

Ammazza.............

Si ma alla fine sti quattro naufraghi se c'avessero avuto la zattera costiera se magnavano i viveri d'emergenza e questo tizio non si intrippava la vita in equazioni senza soluzioni!!

:w allb:




Vedere Van con la penna sul tovagliolo per risolvere l'enigma non ha prezzo..................

Max......................lascia perdere ................

maresciallocapo ha scritto:

Vedere Van con la penna sul tovagliolo per risolvere l'enigma non ha prezzo.........

A me hanno posto il quesito in modo inesatto, tanto che la mia risposta è stata "esiste più di una soluzione".
Ma si, che ve lo dico a fare.... voi eravate preda di visioni mistiche....

VanBob ha scritto:

maresciallocapo ha scritto:

Vedere Van con la penna sul tovagliolo per risolvere l'enigma non ha prezzo.........

A me hanno posto il quesito in modo inesatto, tanto che la mia risposta è stata "esiste più di una soluzione".
Ma si, che ve lo dico a fare.... voi eravate preda di visioni mistiche....

Sarà stato il "rosso" ?????????????

VanBob ha scritto:

maresciallocapo ha scritto:

Vedere Van con la penna sul tovagliolo per risolvere l'enigma non ha prezzo.........

A me hanno posto il quesito in modo inesatto, tanto che la mia risposta è stata "esiste più di una soluzione".

In qualche modo sto tentando di rintracciare chi mi aveva fornito la soluzione con la formula di 4 naufraghi, (il risultato era poco piu' di 100).

A suo tempo il quesito mi era stato posto da un mitico professore di matematica. Ignoravo che questo quiz risalisse agli anni 20 e fosse stato pubblicato, il professore sosteneva che la soluzione si otteneva usando la formula di una equazione inventata da un tedesco. Ovviamente non posso garantire l' esattezza di questa affermazione.

Ho cercato cosa fosse l' equazione diofantea:

In matematica, un'equazione diofantea (chiamata anche equazione diofantina) è un'equazione in una o più incognite con coefficienti interi di cui si ricercano le soluzioni intere. L'aggettivo diofanteo si riferisce al matematico greco del III secolo Diofanto di Alessandria, che studiò equazioni di questo tipo e fu uno dei primi matematici a introdurre il simbolismo nell'algebra.

Chiedo quindi al Professore che durante la cena stava cercando la soluzione, al pari di VanBob, se gli risulta che un matematico tedesco avesse sviluppato una formula simile, sperando che nel frattempo non stia modellando un pupazzo con le mie sembianze per conficcargli degli spilli.........

Io posso fare poco: siamo oltre le mie elementari nozioni matematiche (Non ho mai frequentato una università).

Certo, siamo abbondantemente OT rispetto al titolo del post, a sua volta già nella sezione Off-topic; ho già subito il castigo, a mezzo di una scatola di aspirine consumata mentre mi studiavo la soluzione fornita da erlampuga (E' costui il professore?)

Mi rendo conto che, dopo aver posto un quesito di cui non conosco la soluzione, trovarmi in difficoltà nel capirla dopo averla ottenuta non sia troppo edificante per la mia reputazione, ma ormai è fatta............

[quote="maxfrigione"]Ma una foto, l'avete fatta?

Ocramax ma tutte le foto che scattavi erano finte

Ok, nel frattempo ho finalmente digerito le quantità industriali di ogni portata......e sono pronto a fare il bis! Giuro, nessun rompicapo.